Question

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，人們長(zhǎng)期食用含高濃度甲基汞的魚(yú)類(lèi)會(huì)引起汞中毒，其中羅非魚(yú)體內(nèi)汞含量比其他魚(yú)偏高．《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過(guò)1.0ppm，現(xiàn)從一批數(shù)量很大的羅非魚(yú)中隨機(jī)地抽出15條作為樣本，經(jīng)檢測(cè)得各條魚(yú)的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字為葉）如圖所示
（1）檢查人員從這15條魚(yú)中，隨機(jī)抽出3條，求3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率；
（2）若從這批數(shù)量很大的魚(yú)中任意選3條，記X表示抽到的汞含量超標(biāo)的魚(yú)的條數(shù)，以此15條魚(yú)的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這批數(shù)量很大的魚(yú)的總體數(shù)據(jù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“15條魚(yú)中，隨機(jī)抽出3條，3條中恰有1條汞含量超標(biāo)”為事件A，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出15條魚(yú)中，隨機(jī)抽出3條，3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率．
（2）依題意知這批羅非魚(yú)中汞含量超超標(biāo)的魚(yú)的概率為P（B）=

5

15

=

1

3

，X可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（1）記“15條魚(yú)中，隨機(jī)抽出3條，3條中恰有1條汞含量超標(biāo)”為事件A，
則P（A）=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

．
∴15條魚(yú)中，隨機(jī)抽出3條，3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率為

45

91

．
（2）依題意知這批羅非魚(yú)中汞含量超超標(biāo)的魚(yú)的概率為P（B）=

5

15

=

1

3

，
X可能取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=

C

0 3

(1-

1

3

)3=

8

27

，
P（X=1）=

C

1 3

×

1

3

×(1-

1

3

)2=

4

9

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

1

3

)2(1-

1

3

)=

2

9

，
P（X=3）=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

EX=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．