Question

（本題滿分10分）選修4-4: 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1），；（2）或或

【解析】

試題分析：首先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去化為普通方程，把直線的參數(shù)方程代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到關(guān)于的一元二次方程，由于直線與圓有兩個交點(diǎn)，方程有兩個實(shí)根，所以要求判別式為正，解得的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系表示，利用直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義可知，解出后要求符合的范圍即可；

試題解析：（Ⅰ）由，得：，∴，即，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.

由，得，即，∴直線的普通方程為.

（Ⅱ）將代入，得：，

整理得：，由，即，解得：.

設(shè)是上述方程的兩實(shí)根，則，又直線過點(diǎn)，由上式及的幾何意義得，解得：或，都符合，因此實(shí)數(shù)的值為或或.

考點(diǎn)：極坐標(biāo)與參數(shù)方程；