Question

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點(diǎn)），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（I）橢圓的方程為；

（II）當(dāng)時，，故

【解析】

試題分析：（I）由題設(shè)知，，， 由，

得．解得．所以橢圓的方程為

（II）方法1：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image012.png">的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以所以

．

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．

故．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image029.png">，所以當(dāng)時，

法2：由題知圓N: 的圓心為N；則

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)所以，即．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image036.png">,所以；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image029.png">，所以當(dāng)時，，故

方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，

由，解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image023.png">是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

所以，即．所以

故．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image029.png">，所以當(dāng)時，，故

②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為； 由，解得或. 

不妨設(shè)E(0，3),F(0，1)； 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)所以，即

所以，故

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071711414632151778/SYS201307171142558170574454_DA.files/image029.png">，所以當(dāng)時，，故

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

點(diǎn)評：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況，易于忽視。熟練進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是正確解題的關(guān)鍵。