如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，點(diǎn)E、F分別在棱BB1、CC1上，且BE=
1
3
BB1，C1F=
1
3
CC1．
（1）求異面直線AE與A1 F所成角的大小；
（2）求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AE與A1F所成角．
（2）求出平面AEF和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面AEF與平面ABC所成角的余弦值．
解答： 解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F(xiàn)（0，2，4），
從而
AE
=（2，0，2），
A1F
=（0，2，-2）．…2分
記
AE
與
A1F
的夾角為θ，則有：
cosθ=cos＜
AE
，
A1F
＞
-4
8
•
8
=-
1
2
．
由異面直線AE與A1F所成角的范圍為（0，π），
得異面直線AE與A1F所成角為60°．…4分
（2）記平面AEF和平面ABC的法向量分別為
n
和
m
，
則由題設(shè)可令
n
=（x，y，z），且有平面ABC的法向量為
m
=
AA1
=(0，0，6)，
AF
=(0，2，4)，
AE
=(2，0，2)．
由
n
•
AF
=2y+4z=0
m
•
AE
=2x+2z=0
，取x=1，得
n
=（1，2，-1）．…8分
記平面AEF與平面ABC所成的角為β，
則cosβ=|cos＜
n
，
m
＞|=|
-6
6
•6
|=
6
6
．
∴平面AEF與平面ABC所成角的余弦值為
6
6
．…10分．
點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查平面與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lg
1+2xa
2
（a∈R）．
（1）試確定f（x）的定義域；
（2）如果函數(shù)F（x）=2f（x）-f（2x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若滿足條件C=30°、AB=
6
、BC=a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是（　�。�
A、（1，
6
）
B、（
2
，
6
）
C、（
6
，2
6
）
D、（1，2
6
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對定義域?yàn)镈的函數(shù)，若存在距離為d的兩條平行直線l1：y=kx+m1和l2：y=kx+m2，使得當(dāng)x∈D時(shí)，kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，則稱函數(shù)f（x）在x∈D有一個(gè)寬度為d的通道．有下列函數(shù)：
①f（x）=
1
x
；②f（x）=sinx；③f（x）=
x2-1
；④f（x）=x3+1．
其中在[1，+∞）上通道寬度為(x2-
1
x
)5的函數(shù)是（　�。�
A、①③B、②③C、②④D、①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
10-m
+
y2
m-4
=1的長軸在y軸上，且焦距為2，則m等于（　�。�
A、9B、8C、7.5D、7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若
x2
a2
+
y2
b2
=1與x2+y2=（
b
2
+c）2總有四個(gè)交點(diǎn)，求離心率e的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若角α的終邊在直線y=2x上，則
2sinα-cosα
sinα+2cosα
的值為（　�。�
A、0
B、
3
4
C、1
D、
5
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x-1
x+1
．
（1）寫出函數(shù)的對稱中心；
（2）求函數(shù)f（
x
）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx，g（x）=-x2+（a+2）x+1．
（1）若直線y=2x與曲線y=f（x）相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥g（x）對一切實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案