Question

不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   （-∞，e-1）
2. B.
   （e-1，+∞）
3. C.
   （-∞，e+1）
4. D.
   （e+1，+∞）

Answer 1

A
分析：由不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P?，x∈[0，2]，利用導(dǎo)數(shù)求出即可．
解答：①當(dāng)x=0時(shí)，不等式e⁰-0＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；
②當(dāng)x＞0時(shí)，不等式e^x-x＞ax可變形為，
由不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P?，x∈[0，2]．
設(shè)，x∈（0，2]．
g^′（x）==，令g^′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
由此可知：當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，也即最小值，且f（1）=e．
∴1+a＜e，∴a＜e-1．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：把問題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化并熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解題的關(guān)鍵．