Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁D₁和CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ACD₁；
（2）求面EFB與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

Answer 1

分析：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，先寫出各點(diǎn)坐標(biāo)：
（1）取AD₁中點(diǎn)G，則G（1，0，1），

CG

=（1，-2，1），又

EF

=（-1，2，-1），證明

EF

與

CG

共線即可；
（2）設(shè)

n

=(x，y，z)面EFB的一個(gè)法向量，再取底面ABCD的一個(gè)法向量

m

=(0，0，1)，兩個(gè)法向量的夾角就是所成的銳二面角的大小，從而求解．

解答：解：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、
C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
（1）取AD₁中點(diǎn)G，則G（1，0，1），

CG

=（1，-2，1），又

EF

=（-1，2，-1），由

EF

=-

CG

，
∴

EF

與

CG

共線．
從而EF∥CG，
∵CG?平面ACD₁，EF?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．（6分）
（2）設(shè)

n

=(x，y，z)面EFB的一個(gè)法向量，
由

n

⊥

FE

，

n

⊥

FB

得

x=1 y= 3 2 z=2

，
故可取

n

=(1，

3

2

，2)，（8分）
取底面ABCD的一個(gè)法向量

m

=(0，0，1)，
由cos?

m

，n

?=

m •n

| m || •n |

=

4

29

=

4 29

29

，
所成的銳二面角余弦值的大小為

4 29

29

．（12分）

點(diǎn)評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的夾角問題，因?yàn)榇祟}是正方體，圖形比較特殊，利用向量法求解會簡單些，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，平時(shí)要注意這方面的題．