已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：①x＞1時(shí)，f（x）＜0；②數(shù)學(xué)公式③對任意的正實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求證：f（1）=0，數(shù)學(xué)公式；
（2）求證：f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
（3）求不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集．

證明（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=x，y=，則f（1）=f（x）+f（）=0，即f（）=-f（x），
（2）∵x＞1時(shí)，f（x）＜0，設(shè)任意0＜x1＜x2，則＞1，
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（）=f（）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
（3）∵f（）=1，f（）=-f（x），
∴-f（2）=f（）=1得，
∴f（2）=-1，即有f（2）+f（2）=-2，
∴f（2）+f（5-x）≥-2可化為f（2）+f（5-x）≥f（2）+f（2），
即f（5-x）≥f（2），又f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∴0＜5-x≤2，解得3≤x＜5．
∴原不等式的解集為：{x|3≤x＜5}．
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令x=x，y=，即可證得f（）=-f（x）；
（2）設(shè)任意0＜x1＜x2，則＞1，可證得f（x2）-f（x1）＜0；
（3）根據(jù)②可求得f（2）=-1，從而可得f（5-x）≥f（2），再利用f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，即可求得其解集．
點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其用，難點(diǎn)在于（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減時(shí)的變化及（3）中對f（2）+f（5-x）≥-2的轉(zhuǎn)化，突出考查化歸思想，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)f（x）=2-x給出結(jié)論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結(jié)論的序號是
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)k的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．給出如下結(jié)論：
①對任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結(jié)論的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）函數(shù)f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數(shù)g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個(gè)數(shù)是
0
0
．

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