（文科做）已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]，求：
①
a
•
b
及|
a
+
b
|；
②若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求實數(shù)λ的值．
分析：①利用向量的坐標(biāo)運算可以求得
a
•
b
及|
a
+
b
|；
②將①中
a
•
b
及|
a
+
b
|的運算式子代入f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|，變形為f（x）=2（cosx-λ）2-2λ2-1，通過分類討論即可解得λ的值．
解答：解：①
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
1
2
x=cos2x；
∵(
a
+
b
)2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=1+2cos2x+1
=2+2cos2x
=4cos2x，又x∈[0，
π
2
]，
∴|
a
+
b
|=2cosx．
    ②f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|=cos2x-4λcosx=2cos2x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）2-2λ2-1
    若λ＞1，f（x）min=1-4λ＜-3，與題意不符；
    若λ＜0，f（x）min=-1與題意不符；
    若0≤λ≤1，f（x）min=-2λ2-1，
    由-2λ2-1=-
3
2
，λ∈[0，1]得λ=
1
2
．
    故實數(shù)λ的值為：
1
2
．
點評：本題考查向量的數(shù)量積及其運算，解決的關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，難點在于對f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|=cos2x-4λcosx=2cos2x-4λcosx-1的變形與轉(zhuǎn)化，及分類討論思想的運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：昌圖縣模擬 題型：解答題

（文科做）已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]，求：
①
a
•
b
及|
a
+
b
|；
②若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求實數(shù)λ的值．

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