Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a+2)x2+ax，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，2）上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）求導，再令x=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（1，2）上單調遞增?f^′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立?a≥-

x2+2x

x+1

在區(qū)間（1，2）上恒成立?a≥[-

x2+2x

x+1

]最大值，x∈（1，2），解出即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a+2)x2+ax，∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a．
∵f^′（0）=-2，∴a=-2．
∴f(x)=

1

3

x3-2x，f^′（x）=x²-2．
令f^′（x）=0，解得x=±

2

．
列表如下：
由表格可以看出：當x=-

2

時，f（x）_極大值=f(-

2

)=

4

3

2

；
當x=

2

時，f（x）_極小值=f(

2

)=-

4

3

2

．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在（1，2）上單調遞增，
∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立．
亦即a≥-

x2+2x

x+1

在區(qū)間（1，2）上恒成立．
令g（x）=-

x2+2x

x+1

，則g^′（x）=-

x2+2x+2

(x+1)2

=-

(x+1)2+1

(x+1)2

＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（1，2）上為減函數(shù)，而函數(shù)g（x）在x=1時連續(xù)，
∴g（x）＜g（1）=-

3

2

．
故a≥-

3

2

．

點評：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、恒成立問題是最有效的方法之一，必須熟練掌握．