(2012•許昌一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+ax2
(I)試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
(II)證明:
n
k=2
(
1
k
-ln
1
k
)
n-1
2(n+1)
分析:(Ⅰ)使得函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則有f′(x)≥0或f′(x)≤0在定義域內(nèi)恒成立,由此可求a的范圍;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)問結(jié)論,令a=1,此時(shí)f(x)<0對(duì)x∈(0,1)恒成立,由此構(gòu)造不等式,再令x=
1
k
,對(duì)
n
k=2
(
1
k
-ln
1
k
)
進(jìn)行放縮變形即可.
解答:(Ⅰ)解:定義域?yàn)椋?,+∞).f′(x)=
1
x
-1+2ax
=
2ax2-x+1
x

令g(x)=2ax2-x+1,
∵g(0)=1,∴g(x)≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.即a≥
x-1
2x2
對(duì)x∈∈(0,+∞)恒成立.
令h(x)=
x-1
2x2
=-
1
2
(
1
x
)2+
1
2
(
1
x
)
=-
1
2
(
1
x
-
1
2
)2+
1
8

∴a≥
1
8
,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù).
(Ⅱ)證明:取a=1,由(Ⅰ)知此時(shí)f(x)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù).
∵f(1)=0,∴f(x)<0對(duì)x∈(0,1)恒成立,即x-lnx>x2
取x=
1
k
,∵
1
k
∈(0,1),∴
1
k
-ln
1
k
>(
1
k
)2

n
k=2
(
1
k
-ln
1
k
)
n
k=2
(
1
k
)2
n
k=2
1
k(k+1)
=
n
k=2
(
1
k
-
1
k+1
)
=
1
2
-
1
n+1
=
n-1
2(n+1)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一是研究函數(shù)單調(diào)性,二是證明不等式,證明不等式的關(guān)鍵是利用條件恰當(dāng)構(gòu)造不等式,對(duì)能力要求較高.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•許昌一模)設(shè)x,y滿足
x-ay≤2
x-y≥-1
2x+y≥4
時(shí),則z=x+y既有最大值也有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•許昌一模)已知(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…a8x8,則a1+2a2+3a3+…8a8=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•許昌一模)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2(x+
π
4
)-cos2(x+
π
4
)(x∈R),則函數(shù)f(x)是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•許昌一模)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CBA=90°,面 PAB⊥面ABCD,PA=PB=AB=AD=2,BC=1.
(Ⅰ)求證:PD⊥AC;
(Ⅱ)若點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn).求二面角M-AC-D的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案