Question

19．設正實數(shù)x，y滿足xy=1，求函數(shù)f（x，y）=$\frac{x+y}{[x][y]+[x]+[y]+1}$的值域．（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)）

Answer 1

分析 當x=y=1時，f（x，y）=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；當x≠y時，不妨設x＜y，從而可得f（x，y）=$\frac{x+y}{[y]+1}$，從而可得當y∈[n，n+1）（n∈N^*且n＞1）時，f（x，y）=$\frac{\frac{1}{y}+y}{n+1}$，從而可得$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{n}{n+1}$≤f（x，y）＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+1，令y=$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{x}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$，從而求導可得y=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$在（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）上單調遞減，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）上單調遞增；
從而求函數(shù)的值域．

解答 解：當x=y=1時，f（x，y）=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
當x≠y時，不妨設x＜y，
又∵xy=1，∴x＜1＜y，∴[x]=0，
∴f（x，y）=$\frac{x+y}{[y]+1}$，
當y∈（1，2）時，
f（x，y）=$\frac{\frac{1}{y}+y}{2}$，
∵$\frac{1}{y}$+y在（1，2）上單調遞增，
∴1＜$\frac{\frac{1}{y}+y}{2}$＜$\frac{5}{4}$；
當y∈[n，n+1）（n∈N^*且n＞1）時，
f（x，y）=$\frac{\frac{1}{y}+y}{n+1}$，
∵$\frac{1}{y}$+y在[n，n+1）上單調遞增，
∴$\frac{1}{n}$+n≤$\frac{1}{y}$+y＜$\frac{1}{n+1}$+n+1，
則$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{n}{n+1}$≤f（x，y）＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+1，
設y=$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{x}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$，
y′=$\frac{2x•x（x+1）-（（{x}^{2}+1）（2x+1））}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}-2}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$，
則y=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$在（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）上單調遞減，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）上單調遞增；
當n=2時，$\frac{1}{2•3}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$，當n=3時，$\frac{1}{3•4}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{6}$；
故$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{5}{6}$；
則y=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$+1在（0，+∞）上是減函數(shù)；
故$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+1≤$\frac{5}{4}$；
故$\frac{5}{6}$≤f（x，y）＜$\frac{5}{4}$；
故函數(shù)f（x，y）=$\frac{x+y}{[x][y]+[x]+[y]+1}$的值域為[$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{4}$）∪{$\frac{1}{2}$}．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．