Question

江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距

 

m．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專題：計算題,解三角形

分析：利用直線與平面所以及俯角的定義，化為兩個特殊直角三角形的計算，再在底面△BCD中用余弦定理即可求出兩船距離．

解答： 解：如圖，過炮臺頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測小船C的俯角為45°，
設(shè)A處觀測小船D的俯角為60°，連接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=60°，可得BD=

AB

3

=10

3

米
在△BCD中，BC=30米，BD=10

3

米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD²=BC²+BD²-2BC•BDcos30°=300
∴CD=10

3

米（負(fù)值舍去）
故答案為：10

3

．

點(diǎn)評：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求炮臺旁邊兩條小船距的距離．著重考查了余弦定理、空間線面的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．熟練掌握直線與平面所成角的定義與余弦定理解三角形，是解決本題的關(guān)鍵．