Question

如果函數(shù)f（x）=-

2a

b

ln（x+1）的圖象在x=1處的切線l過點(diǎn)（0，-

1

b

），并且l與圓C：x²+y²=1相離，則點(diǎn)（a，b）與圓C的位置關(guān)系是（　�。�

• A、在圓上
• B、在圓外
• C、在圓內(nèi)
• D、不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對函數(shù)f（x）=-

2a

b

ln（x+1）求導(dǎo)得到直l的斜率，從而得到直線l的點(diǎn)斜式方程．利用直線與圓的位置關(guān)系可得到a，b與圓x²+y²=1的半徑之間的關(guān)系，從而可判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

解答：解：∵f（x）=-

2a

b

ln（x+1），
∴f′（x）=-

2a

b

•

1

x+1

．
∴切線l的斜率k=f′（1）=-

2a

b

•

1

2

=-

a

b

．
∴直線l的方程為y+

1

b

=-

a

b

x，
即：ax+by+1=0．
∵直線l與圓x²+y²=1相離，
∴圓心到直線l的距離d=

1

a2+b2

＞r=1．
∴a²+b²＜1．
∴點(diǎn)（a，b）在圓x²+y²=1的內(nèi)部．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，點(diǎn)的直線的距離，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)，直線與圓的位置關(guān)系等知識．屬于中檔題．