Question

已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若b=1，設(shè)函數(shù)u（x）=g（x）-f（x），試討論函數(shù)u（x）的單調(diào)性；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，可得

g(1)=f(1)=0 g′(1)=f′(1)

，解出即可；
（2）b=1時(shí)，u（x）=g（x）-f（x）=ax²-x-lnx（x＞0）.u′(x)=2ax-1-

1

x

=

2ax2-x-1

x

．對(duì)a分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，u′(x)=-1-

1

x

＜0，即可得出單調(diào)性；
當(dāng)a≠0時(shí)，令u′（x）=0，即2ax²-x-1=0…（*），△=1+8a．對(duì)△分類討論：當(dāng)△≤0，當(dāng)△＞0，利用求根公式即可得出；
（3）當(dāng)a=1，b＞2e，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）-x=blnx-x²，x∈（1，e^b）．令h′（x）=0，解得x=

b 2

＞

e

，當(dāng)x＞1時(shí)，

x

＜x＜ex，

b 2

＜eb．分區(qū)間(1，

b 2

)與(

b 2

，eb)利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

b

x

，g′（x）=2ax-1．
則

g(1)=f(1)=0 g′(1)=f′(1)

，即

a-1=0 b=2a-1

，解得

a=1 b=1

．
（2）b=1時(shí)，u（x）=g（x）-f（x）=ax²-x-lnx（x＞0）.u′(x)=2ax-1-

1

x

=

2ax2-x-1

x

．
①當(dāng)a=0時(shí)，u′(x)=-1-

1

x

＜0，∴函數(shù)u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a≠0時(shí)，令u′（x）=0，即2ax²-x-1=0…（*），△=1+8a．
當(dāng)△≤0，即a≤-

1

8

時(shí)，2ax²-x-1≤0，即u′（x）≤0，∴函數(shù)u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)△＞0，即a＞-

1

8

時(shí)，方程（*）的解為：x₁=

1- 1+8a

4a

，x₂=

1+ 1+8a

4a

．
當(dāng)-

1

8

＜a＜0時(shí)，x₁＜0，x₂＜0，則函數(shù)u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，x₁＜0，x₂＞0，則函數(shù)u（x）在（0，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增；
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減； 
       當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)u（x）在（0，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增．
（3）當(dāng)a=1，b＞2e，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）-x=blnx-x²，x∈（1，e^b）．
h′(x)=

b

x

-2x=

b-2x2

x

，令h′（x）=0，解得x=

b 2

＞

e

，當(dāng)x＞1時(shí)，

x

＜x＜ex，∴

b 2

＜eb．

x	(1， b 2 )	b 2	( b 2 ，eb)
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減

∴h_極大值=h(

b 2

)=

b

2

(ln

b

2

-1)＞0．
又∵h(yuǎn)（1）=-1　方程在(1，

b 2

)上有一個(gè)根．
h（e^b）=（b-e^b）（b+e^b），
設(shè)t（x）=e^x-x（x∈（2e，+∞），t′（x）=e^x-1＞0，∴t（x）在（2e，+∞）上單調(diào)遞增，
t（x）＞t（2e）＞0．e^x＞x，∴h（e^b）＜0，方程在(

b 2

，eb)上有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．