在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中,已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為2的圓,從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP′,P′為垂足,
(1)求線段PP′中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)Q(-2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)(,0),且以為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。

解:(1)設(shè)M(x,y)是所求曲線上的任意一點(diǎn),
P()是方程的圓上的任意一點(diǎn),則,
則有:,即,
代入得,軌跡C 的方程為
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),與橢圓無交點(diǎn),
所以設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),與橢圓交于兩點(diǎn),
N點(diǎn)所在直線方程為,
得(4+
,
,    
,
,即,
∴四邊形OANB為平行四邊形,
假設(shè)存在矩形OANB,
,即,
,
于是有,得,
設(shè)N(),由,
即點(diǎn)N在直線x=-上;
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形,直線l的方程為。

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    (2)過點(diǎn)Q(一2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)(-
    4
    17
    ,0),且以言
    a
    =(0,1)
    為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足
    ON
    =
    OA
    +
    OB
    (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線Z的方程;若不存在,說明理由.

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    (2)過點(diǎn)Q(一2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)(,0),且以言為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線Z的方程;若不存在,說明理由.

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