【題目】已知數列的各項均為正數,且,對于任意的,均有,.
(1)求證:是等比數列,并求出的通項公式;
(2)若數列中去掉的項后,余下的項組成數列,求;
(3)設,數列的前項和為,是否存在正整數,使得、、成等比數列,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數,函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱.
(1)求函數的解析式;
(2)若函數在區(qū)間上的值域為,求實數的取值范圍;
(3)設函數,試用列舉法表示集合.
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【題目】設,,記.
(1)若,,當時,求的最大值;
(2)若,,且方程有兩個不相等的實根、,求的取值范圍;
(3)若,,,且a、b、c是三角形的三邊長,試求滿足等式:有解的最大的x的范圍.
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【題目】在直角坐標系中,點,是曲線上的任意一點,動點滿足
(1)求點的軌跡方程;
(2)經過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點,在軸上是否存在定點(異于點),使得?若存在,求出的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】分形幾何學是數學家伯努瓦曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數學學科.它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖:
易知第三行有白圈5個,黑圈4個.我們采用“坐標”來表示各行中的白圈、黑圈的個數.比如第一行記為,第二行記為,第三行記為.照此規(guī)律,第行中的白圈、黑圈的“坐標”為,則________.
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【題目】如圖,已知正方體的棱長為2,E、F、G分別為的中點,給出下列命題:
①異面直線EF與AG所成的角的余弦值為;
②過點E、F、G作正方體的截面,所得的截面的面積是;
③平面
④三棱錐的體積為1
其中正確的命題是_____________(填寫所有正確的序號)
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【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力,對其中一臺生產設備提出了甲、乙兩個改進方案:甲方案是引進一臺新的生產設備,需一次性投資1000萬元,年生產能力為30萬件;乙方案是將原來的設備進行升級改造,需一次性投入700萬元,年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測,該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示,無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備,設備的使用年限均為6年,該產品的銷售利潤為15元/件(不含一次性設備改進投資費用).
(1)根據年銷售量的頻率分布直方圖,估算年銷量的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率,各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值,并假設每年的銷售量相互獨立.
①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率:
②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據,試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.(6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用)
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【題目】某電子工廠生產一種電子元件,產品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子元件次品率為0.01,且這種電子元件是否為次品相互獨立.現要檢測3000個這種電子元件,檢測的流程是:先將這3000個電子元件分成個數相等的若干組,設每組有個電子元件,將每組的個電子元件串聯起來,成組進行檢測,若檢測通過,則本組全部電子元件為正品,不需要再檢測;若檢測不通過,則本組至少有一個電子元件是次品,再對本組個電子元件逐一檢測.
(1)當時,估算一組待檢測電子元件中有次品的概率;
(2)設一組電子元件的檢測次數為,求的數學期望;
(3)估算當為何值時,每個電子元件的檢測次數最小,并估算此時檢測的總次數(提示:利用進行估算).
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