Question

（本小題14分）

已知

(Ⅰ)若求的表達(dá)式；

（Ⅱ）若函數(shù)f (x)和函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求函數(shù)g(x)的解析式；

（Ⅲ）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)l的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  sin²x+2sinx

（Ⅱ）g(x)= -sin²x+2sinx

（Ⅲ）

【解析】本試題主要是考查了三角函數(shù)中三角恒等變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，以及單調(diào)性的運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082413501269251974/SYS201208241350462978777059_DA.files/image003.png">結(jié)合向量，和三角公式得到結(jié)論。

（2）設(shè)函數(shù)y=f (x)的圖象上任一點(diǎn)M(x₀,y₀)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N（x,y）

則x₀= -x,y₀= -y

∵點(diǎn)M在函數(shù)y=f (x)的圖象上

,即y= -sin²x+2sinx

利用對(duì)稱性得到結(jié)論。

（3）設(shè)sinx=t,(-1≤t≤1)

則有

根據(jù)在上是增函數(shù)，那么可知函數(shù)中參數(shù)的取值范圍。

解：(Ⅰ)

=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx     ……………4分

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f (x)的圖象上任一點(diǎn)M(x₀,y₀)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N（x,y）

則x₀= -x,y₀= -y

∵點(diǎn)M在函數(shù)y=f (x)的圖象上

,即y= -sin²x+2sinx

∴函數(shù)g(x)的解析式為g(x)= -sin²x+2sinx    ……………9分

（Ⅲ）設(shè)sinx=t,(-1≤t≤1)

則有

①    當(dāng)時(shí)，h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函數(shù)，∴λ= -1

②    當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸方程為直線.

ⅰ) 時(shí)，，解得

ⅱ)當(dāng)時(shí)，,解得

綜上，.                                ……………14分