精英家教網(wǎng)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在D1C1上，且D1E=
14
D1C1，試求直線EF與平面D1AC所成角的正弦值．
分析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，求出平面D1AC的法向量
DB1
，以及向量
EF
的坐標(biāo)，求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值，此值就是直線EF與平面D1AC所成角的正弦值．
解答：精英家教網(wǎng)解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以
DA
，
DC
，
DD1
為單位正交基底，
建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，
則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B1（1，1，1），E(0，
1
4
，1)，F(
1
2
，1，0)，（2分）
所以
DB1
=(1，1，1)，
EF
=(
1
2
，
3
4
，-1)，（4分）
DB1
為平面D1AC的法向量，
cos＜
DB1
，
E F
＞=
DB1
•
EF
|
DB1
||
EF
|
=
1×
1
2
+1×
3
4
-1×1
3
×
1
4
+
9
16
+1
=
87
87
．（8分）
所以直線EF與平面D1AC所成角的正弦值為
87
87
．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對(duì)角線BD′的一個(gè)平面交AA′于E，交CC′于F，則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上結(jié)論正確的為
①③④
．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為D′C′的中點(diǎn)，則二面角E-AB-C的大小為
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是AB′，BC′的中點(diǎn)． 
（1）若M為BB′的中點(diǎn)，證明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求異面直線EF與AD′所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在正方體ABCD-A  1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關(guān)系是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對(duì)角線BD′的一個(gè)平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，則：
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E有可能是菱形；
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案