已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上,點是雙曲線右支上相異兩點,且滿足為線段的中點,直線的斜率為
(1)求雙曲線的方程;
(2)用表示點的坐標(biāo);
(3)若,的中垂線交軸于點,直線交軸于點,求的面積的取值范圍.
(1);(2);(3)
【解析】
試題分析:(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需找到兩個關(guān)于的兩個等式,通過解方程即可得到的值,從而得到雙曲線方程.
(2)由直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y可得關(guān)于x的一個一元二次方程,判別式必須滿足大于零,再由韋達定理可表示出點D的坐標(biāo),又根據(jù)即可用k表示點D的縱坐標(biāo).從而可求出點D的坐標(biāo).
(3)的中垂線交軸于點,直線交軸于點求的面積.通過直線AB可以求出點N的坐標(biāo),又由線段AB的中垂線及中點D的坐標(biāo),可以寫出中垂線的方程,再令y=0,即可求出點M.以MN長為底邊,高為點D的縱坐標(biāo),即可求出面積的表達式.再用最值的求法可得結(jié)論.
試題解析:(1)
雙曲線的方程為;
(2)方法一:
設(shè)直線的方程為代入方程得
當(dāng)時記兩個實數(shù)根為
則
∴的方程為把代入得
下求的取值范圍:法一:由得即
而所以化簡得
法二:在中令得
即所以
再結(jié)合 得 ;
方法二:兩式相減得
(3)由(2)可知方程中令得
設(shè)點的坐標(biāo)為由得
∴
考點:1.雙曲線的性質(zhì).2.直線與雙曲線的位置關(guān)系.3.三角形的面積的求法.4.最值的求法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省高三高考壓軸理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左頂點,且此雙曲線的一條漸
近線方程為y=2x,則雙曲線的焦距等于 ( ).
A. B.2 C. D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知雙曲線的一條漸近方程為,兩條準(zhǔn)線的距離為1。
(1)求雙曲線的方程;
(2)直線l過坐標(biāo)原點O且和雙曲線交于兩點M,N,點P為雙曲線上異于M,N的一點,且直線PM,PN的斜率均存在,求kPM?kPN的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2010屆高考模擬試題理 題型:選擇題
已知分別是雙曲線
的左,右焦點。過點與雙曲線的一條漸
近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點,且
,則雙曲線的離心率為( )
(A) (B)
(C) (D)
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