Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)F為圓的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為。
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點(diǎn)F的動直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M（），證明：為定值。

Answer 1

（I）（II）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的方程為
，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，為定值，且定值為

試題分析：（1）因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以橢圓的半焦距
又橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為，所以，即
所以，所求橢圓的方程為   2分
（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的方程為，可求得
此時(shí)，  4分
②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為
由得    6分
設(shè)，則   7分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240125160702125.png" style="vertical-align:middle;" />





所以，為定值，且定值為   13分
點(diǎn)評：本題第二問中直線與橢圓相交時(shí)需注意討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)常聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解化簡