Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程；

（2）若對(duì)任意的，均有，則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù)，為在區(qū)間上的上界函數(shù).

①若，求證：為在上的上界函數(shù)；

②若，為在上的下界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②.

【解析】

（1）求出和的值，利用點(diǎn)斜式可求得所求切線的方程；

（2）①利用導(dǎo)數(shù)得出，，可得出，結(jié)合題中定義可得出結(jié)論；

②由題意得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法得出，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

所以函數(shù)的圖象在處的切線斜率.

又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為；

（2）①由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

令，得.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

故當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

從而，所以，即，

所以函數(shù)為在上的上界函數(shù)；

②因?yàn)楹瘮?shù)為在上的下界函數(shù)，

所以，即.

因?yàn)?/span>，所以，故.

令，，則.

設(shè)，，則，

所以當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，

故在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

從而.

因?yàn)?/span>在上恒成立，所以在上恒成立，

故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.