Question

【題目】已知f（x）=|2x﹣1|+x+ 的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，求證：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x≥ 時，f（x）=3x﹣ 遞增，且f（x）≥ ﹣ =1；

當(dāng)x＜ 時，f（x）= ﹣x遞減，且f（x）＞ ﹣ =1；

綜上可得x= 時，f（x）取得最小值1，即m=1

（2）解：證明：a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，

由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，

即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，

可得a3+b3≥ab﹣abc，

同理可得b3+c3≥bc﹣abc，

c3+a3≥ca﹣abc，

上面三式相加可得，2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 取得等號

【解析】（1）討論當(dāng)x≥ 時，當(dāng)x＜ 時，去掉絕對值，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值；（2）由a+b+c=1，先證a3+b3≥a2b+b2a，由作差法可得，即有a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，累加即可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解不等式的證明的相關(guān)知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．