Question

已知偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，求證：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-b，-a]上單調(diào)遞減．若是奇函數(shù)，又有怎么樣的結(jié)論？

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（單調(diào)遞減）
設(shè)-b＜x₁＜x₂＜-a，則b＞-x₁＞-x₂＞a，
∵y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵y=f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x₁）＞f（-x₂）等價(jià)為f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-b，-a]上單調(diào)遞減．
②若y=f（x）是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），
即f（-x₁）＞f（-x₂）等價(jià)為-f（x₁）＞-f（x₂），
∴（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-b，-a]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．