Question

求函數(shù)f（x）=2x³-6x²+1（x∈[-2，3]）的單調(diào)區(qū)間及最值．

Answer 1

解：函數(shù)的定義域為x∈[-2，3]，f′（x）=6x²-12x=6x（x-2）…（2分）
令f′（x）=0 得點x₁=0，x₂=2…（4分）
點x₁=0，x₂=2把定義域分成三個小區(qū)間，下表討論

	（-2，0）	0	（0，2）	2	（2，3）
y′	+	0	-	0	+
	↗	1	↘	-7	↗

…（6分）
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]，[2，3]單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減．…（8分）
因為，f（0）=1，f（-2）=-39，f（2）=-7，f（3）=1…（10分）
當x=3或x=0時，取最大值為1，當x=-2時，取最小值為-39…（12分）
分析：先求導(dǎo)數(shù)f′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，從而得到函數(shù)的最值．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．