Question

(本小題滿(mǎn)分14分)

已知圓的方程為，定直線的方程為．動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）斜率為的直線與軌跡相切于第一象限的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交軌跡于異于點(diǎn)的點(diǎn)，記為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程．（II）

【解析】(I)由題意可動(dòng)圓圓心C到圓心C₁（0，2）的距離比它到直線y=-1的距離小1,所以C到C₁的距離與它到直線y=-2的距離相等.因而其軌跡為拋物線.

（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求出切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．再根據(jù)此直線過(guò)點(diǎn)A（0，6），可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出PQ的方程然后再與拋物線方程聯(lián)立可得Q的坐標(biāo).

從而可求出的面積.

解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為，動(dòng)圓半徑為R，

則，且，可得 ．

由于圓C₁在直線l的上方，所以動(dòng)圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程．

（II）如圖示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．

由于該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,6），所以有，得．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為．

把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得，

解得或4，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．

所以