Question

袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各1張，甲從袋中任取2張卡片（每張卡片被取出的可能性都相等），并記下卡面數(shù)字和為X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（2）甲進(jìn)行四次操作，求至少有兩次X不大于E（X）的概率．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知，X可能的取值為：3，4，5，6，7；計(jì)算出隨機(jī)變量X的概率分布進(jìn)而利用求數(shù)學(xué)期望的公式得到X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
（2）記“一次操作所計(jì)分?jǐn)?shù)X不大于E（X）”的事件記為C，則P（C）=

2

3

． 設(shè)四次操作中事件C發(fā)生次數(shù)為Y，則Y～B（4，

2

3

）．則其服從二項(xiàng)分布，所以所求事件的概率為P（Y≥2）=

8

9

．

解答：解：（1）由題設(shè)知，X可能的取值為：3，4，5，6，7．
隨機(jī)變量X的概率分布為

X	3	4	5	6	7
P	1 6	1 6	1 3	1 6	1 6

因此X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（3+4+6+7）×

1

6

+5×

1

3

=5．
（2）記“一次操作所計(jì)分?jǐn)?shù)X不大于E（X）”的事件記為C，則
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=

1

6

+

1

6

+

1

3

=

2

3

． 
設(shè)四次操作中事件C發(fā)生次數(shù)為Y，則Y～B（4，

2

3

）
則所求事件的概率為P（Y≥2）=1-C₄¹×

2

3

×（

1

3

）³-C₄⁰×（

1

3

）⁴=

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類題目的關(guān)鍵是正確求得隨機(jī)變量的取值以及每個(gè)值得概率，熟練掌握求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法步驟．