Question

設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²，
∴f（1）=1•2²=4，
f（2）=1•2²+2•3²=22，
f（3）1•2²+2•3²+3•4²=70；
（2）假設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=對(duì)一切自然數(shù)n都成立，
則f（1）=（a+b+c）=4，
∴a+b+c=24①，
同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
由f（3）=70得9a+3b+c=70③
聯(lián)立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
∴f（n）=（3n²+11n+10）．
證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
2°假設(shè)n=k時(shí)，f（k）=（3k²+11k+10）=，
則n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]²
=+（k+1）[（k+1）+1]²
=（3k²+17k+24）
=
=，
即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合1°，2°知，存在常數(shù)a=3，b=11，c=10使得f（n）=（3n²+11n+10）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．
分析：（1）由f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²即可求得f（1），f（2），f（3）；
（2）假設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=對(duì)一切自然數(shù)n都成立，由f（1），f（2），f（3）的值可求得a，b，c；再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，求得a，b，c的值是關(guān)鍵，考查分析、運(yùn)算及推理證明的能力，屬于難題．