Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為2c；若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上任一點(diǎn)P（x₀，y₀）作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于（a-c）．
（Ⅰ）證明：|PF₂|的最小值為a-c；
（Ⅱ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求橢圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)橢圓上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
Q點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為d=-x₀，
則由橢圓的第二定義知：=，
∴|QF₂|=a-x₀，又-a≤x₀≤a，
∴當(dāng)x₀=a時(shí)，
∴|QF₂|_min=a-c．
（Ⅱ）解：依題意設(shè)切線長|PT|=
∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時(shí)|PT|取得最小值，
∴≥（a-c），
∴0＜≤，從而解得≤e＜；
（Ⅲ）依題意Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），則直線的方程為y=2（x-1），
與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y得（4a²+1）^_x2-8a²x+3a²=0
設(shè)A（x₁，y₁）（x₂，y₂），則有x₁+x₂=，x₁x₂=，
代入直線方程得y₁y₂=，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴+=0
∴a=2
∴橢圓方程為．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），根據(jù)Q點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離和橢圓的第二定義，求得x₀的范圍，進(jìn)而求得橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F₂的最短距離；
（Ⅱ）可先表示出|PT|，進(jìn)而可知當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時(shí)，|PT|取得最小值，從而可求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及OA⊥OB，即可求出橢圓的方程．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．