Question

如圖，直線l₁，l₂交于點A，點B、C在直線l₁，l₂上，已知∠CAB=45°，AB=2，設(shè)

CD

=λ

AB

，點P為直線l₂上的一個動點，當(dāng)λ=

 

時，|2

PB

+

PD

|的最小值是3

2

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)C（c，c），P（x，x）．由

CD

=λ

AB

，可得

AD

=

AC

+λ

AB

=（c+2λ，c）．可得2

PB

+

PD

=（c-3x+2λ+4，c-3x）．設(shè)c-3x=t，化為2

PB

+

PD

=（t+2λ+4，t）．由向量數(shù)量積的性質(zhì)及其題意可得可得|2

PB

+

PD

|=

(t+2λ+4)2+t2

=

2(t+λ+2)2+2λ2+8λ+8

≥3

2

，解出即可．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
∵AB=2，∴B（2，0）．
設(shè)C（c，c），P（x，x）．
∵

CD

=λ

AB

，∴

AD

=

AC

+λ

AB

=（c+2λ，c）．
又

PB

=（2-x，-x）．
∴2

PB

+

PD

=（c-3x+2λ+4，c-3x）．
設(shè)c-3x=t，
則2

PB

+

PD

=（t+2λ+4，t）．
∴|2

PB

+

PD

|=

(t+2λ+4)2+t2

=

2(t+λ+2)2+2λ2+8λ+8

≥3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t+λ+2=0時取等號．
∴2λ²+8λ+8=18，
化為λ²+4λ-5=0．
解得λ=1或-5．
∴當(dāng)λ=1或-5時，|2

PB

+

PD

|的最小值是3

2

．
故答案為：1或-5．

點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、換元法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．