Question

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P為坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？
（2）若，P點(diǎn)的軌跡為曲線C，過點(diǎn)Q（2，0）斜率為k₁的直線?₁與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B，AB中點(diǎn)為R，直線OR（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k₂，求證k₁k₂為定值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)，且λ∈[2，3]，求?₁在y軸上的截距的變化范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)p（x，y）
由，得y²=m（x²-9），
若m=-1，則方程為x²+y²=9，軌跡為圓（除A B點(diǎn)）；
若-1＜m＜0，方程為，軌跡為橢圓（除A B點(diǎn)）；
若m＞0，方程為，軌跡為雙曲線（除A B點(diǎn)）．
（2）時(shí)，曲線C方程為，設(shè)?₁的方程為：x=ty+2
與曲線C方程聯(lián)立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則①，②，
可得，．
（3）由得y₂=-λy₁代入①②得：③，④，
③式平方除以④式得：，
而在λ∈[2，3]上單調(diào)遞增，，，?₁在y軸上的截距為b，=，．
分析：（1）根據(jù)斜率公式得出，然后分情況討論曲線類型；
（2）首先根據(jù)（1）求出曲線方程，然后聯(lián)立直線方程和曲線方程并利用韋達(dá)定理得出y₁+y₂，y₁y2，從而求得R的坐標(biāo)，進(jìn)而得出k₁k₂的值．
（3）根據(jù)得y₂=-λy₁然后代入（2）中①②式，從而得出，然后根據(jù)在λ∈[2，3]上單調(diào)遞增調(diào)得出，，即可得出結(jié)果．
點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程、函數(shù)值域以及直線與圓錐曲線的綜合問題，對于直線與圓錐曲線一般聯(lián)立方程設(shè)而不求的方法求解，此題綜合性強(qiáng)，屬于難題．