Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，OC平行于弦AD，連結(jié)CD.
 
(1)求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)P，求證：P點(diǎn)平分線(xiàn)段DE.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

(1)連結(jié)OD，
∵OC∥AD，
∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠1＝∠2.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠ODC＝∠OBC.
∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，
∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)．
 
(2)證法一：過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)AF，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則FA⊥AB.
∵DE⊥AB，由(1)知CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，∴.
在△FAC中，∵DP∥FA，∴.
∵FA，FD是⊙O的切線(xiàn)，∴FA＝FD，
∴，∴
在△ABC中，∵EP∥BC，∴.
∵CD，CB是⊙O的切線(xiàn)，∴CB＝CD，
∴.
∴，∴DP＝EP.
∴點(diǎn)P平分線(xiàn)段DE.
證法二：輔助線(xiàn)同上．
由(1)及已知條件知BC，CD，AF為⊙O的切線(xiàn)，B，D，A為切點(diǎn)，
∴CB＝CD，FA＝FD.
設(shè)CD＝m，FD＝n.
∵DE⊥AB，∴AF∥DE∥BC.
∴，即PD＝，PE＝，
∴PD＝PE，因此P點(diǎn)平分線(xiàn)段DE.