Question

已知f（x）是定義在R上周期4π的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）=cosx，當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，y=f（x）的圖象是斜率為

2

π

且在y軸上的截距為-2的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分．
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，
（2）寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2013π）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上周期4π的偶函數(shù)，求解解析式；（2）則結(jié)合余弦函數(shù)圖象進(jìn)行求解；（3）則利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求值．

解答：
解：（1）設(shè)x∈[-2π，-π），
則-x∈（π，2π]f（x）是偶函數(shù)，
∵x∈（π，2π]時(shí)，y=f（x）=

2

π

x-2，
∴f（x）=f（-x）=-

2

π

x-2．
設(shè)x∈[-π，0]則-x∈[0，π]，f（x）=f（-x）=cos（-x）=cosx
∴f(x)=

- 2 π x-2，x∈[-2π，-π) cosx，x∈[-π，π] 2 π x-2，x∈(π，2π]

，

已知f(x)的周期為4π，設(shè)x∈[-2π+4kπ，-π+4kπ)，則x-4kπ∈[-2π，π) f(x)=f(x-4kπ)=- 2 π (x-4kπ)-2=- 2 π x+8k-2，

設(shè)x∈[-π+4kπ，π+4kπ]，則x-4kπ∈[-π，π] f(x)=f(x-4kπ)=cos(x-4kπ)=cosx，

設(shè)x∈(π+4kπ，2π+4kπ]，則x-4kπ∈(π，2π] f(x)=f(x-4kπ)= 2 π (x-4kπ)-2= 2 π x-8k-2，

∴f(x)=

- 2 π x+8k-2，x∈[-2π+4kπ，-π+4kπ) cosx，x∈[-π+4kπ，π+4kπ] 2 π x-8k-2，x∈(π+4kπ，2π+4kπ]

，
（2）

(-π+4kπ，4kπ]，(π+4kπ，2π+4kπ]，遞增區(qū)間； [-2π+4kπ，-π+4kπ)，(4kπ，π+4kπ]，遞減區(qū)間；

（3）

f(π)+f(2π)+f(3π)+f(4π)=-1+2+-1+1=1，T=4 ∴f(π)+f(2π)+f(3π)+…+f(2013π)=503×1-1=502

．

點(diǎn)評：本題綜合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)解析式求解等知識，考查比較綜合．屬于難題．