Question

空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說明空氣污染越嚴(yán)重，為了及時了解空氣質(zhì)量狀況，廣東各城市都設(shè)置了實(shí)時監(jiān)測站．下表是某網(wǎng)站公布的廣東省內(nèi)21個城市在2014年12月份某時刻實(shí)時監(jiān)測到的數(shù)據(jù)：

城市

AQI數(shù)值

城市

AQI數(shù)值

城市

AQI數(shù)值

城市

AQI數(shù)值

城市

AQI數(shù)值

城市

AQI數(shù)值

城市

AQI數(shù)值

廣州

118

東莞

137

中山

95

江門

78

云浮

76

茂名

107

揭陽

80

深圳

94

珠海

95

湛江

75

潮州

94

河源

124

肇慶

48

清遠(yuǎn)

47

佛山

160

惠州

113

汕頭

88

汕尾

74

陽江

112

韶關(guān)

68

梅州

84

（1）請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成下列表格：

空氣質(zhì)量	優(yōu)質(zhì)	良好	輕度污染	中度污染
AQI值范圍	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）
城市個數(shù)

（2）統(tǒng)計(jì)部門從空氣質(zhì)量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個城市，省環(huán)保部門再從中隨機(jī)選取3個城市組織專家進(jìn)行調(diào)研，記省環(huán)保部門“選到空氣質(zhì)量“良好”的城市個數(shù)為ξ”，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，能完成表格．
（2）按分層抽樣的方法，抽出的“良好”類城市為4個，抽出的“輕度污染”類城市為2個．根據(jù)題意ξ的所有可能取值為：1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，完成表格如下：

空氣質(zhì)量	優(yōu)質(zhì)	良好	輕度污染	中度污染
AQI值范圍	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）
城市頻數(shù)	2	12	6	1

…（2分）
（2）按分層抽樣的方法，從“良好”類城市中抽取n1=

12

12+6

×6=4個，…（3分）
從“輕度污染”類城市中抽取n2=

6

12+6

×6=2個，…（4分）
所以抽出的“良好”類城市為4個，抽出的“輕度污染”類城市為2個．
根據(jù)題意ξ的所有可能取值為：1，2，3．
∵P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

．…（8分）
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
p	1 5	3 5	1 5

所以Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．    …（11分）
答：ξ的數(shù)學(xué)期望為2個．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．