Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（a，b∈R），其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，將a=1代入，求出f′（x）=0的根，從而求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx+ax²+bx 的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$+b，
∵圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=2a+b+1=0，b=-2a-1，
f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$-2a-1=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)a=1時(shí)，$f'（x）=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}=0，{x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=1$．
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增；
$\frac{1}{2}＜x＜1$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減；
x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增．
∴f（x）的極大值為$f（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$，f（x）的極小值為f（1）=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}-2a-1=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$．
∴a≤0時(shí)，x∈（0，1）f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增，x∈（1，+∞）f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減；
$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，x∈（0，1）f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增，$x∈（1，\frac{1}{2a}）$f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
$x∈（\frac{1}{2a}，+∞）$f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增；
$a=\frac{1}{2}$時(shí)，x∈（0，+∞）f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增；
$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，$x∈（0，\frac{1}{2a}）$f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增，$x∈（\frac{1}{2a}，1）$f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
x∈（1，+∞）f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．