Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=該橢圓C與直線l：y=x在第一象限交于F點(diǎn)，且直線l被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2，過(guò)F作傾斜角互補(bǔ)的兩直線FM，F(xiàn)N分別與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（F與M，N均不重合）．
（I ）求橢圓C的方程；
（ II ）求證：直線MN的斜率為定值；
（III）求三角形FMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I ）由題設(shè)知：e=，，由此能求出橢圓C的方程．
（II）由F（1，），設(shè)k_FM=k（k＞0），由直線FM與FN的傾斜角互補(bǔ)，知k_FN=-k，直線FM：，直線FN：．由，得，由是FM與橢圓的交點(diǎn)，知1為（*）的一個(gè)根，另一個(gè)根為x_M，，=，，同理，由此能求出直線MN的斜率為定值．
（III）設(shè)MN與y軸交點(diǎn)為（0，b），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），又，MN的方程為．由，得．由，得b²＜8，再由韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解．
解答：解：（I ）由題設(shè)知：e=，∴，
∵c²=a²-b²，∴，
即a²=2b²，
設(shè)所求的橢圓C的方程為．
由，得，∴，∴y=±b．
∴兩交點(diǎn)分別為（），，
∴，
∴b²=2，a²=4．
∴所求的橢圓C的方程為．
（II）由（1）知F（1，），
設(shè)k_FM=k（k＞0），
∵直線FM與FN的傾斜角互補(bǔ)，
∴k_FN=-k，
∴直線FM：，直線FN：．
由，得（*），
∵是FM與橢圓的交點(diǎn)，
∴1為（*）的一個(gè)根，另一個(gè)根為x_M，
∴，
∴
=，
∴，
同理，
∴．
（III）設(shè)MN與y軸交點(diǎn)為（0，b），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又，
∴MN的方程為．
由，得．
由，得b²＜8，
∵，，
∴
=
=．
∵，
∴OF∥MN，
∴F到MN的距離即為O到MN的距離b=，
∴
=，
當(dāng)b²=4時(shí)，三角形FMN面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線斜率的計(jì)算和三角形面積的最大值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．