Question

已知f（x）=a^x+a^﹣x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）證明函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為，求此時(shí)a的值．
（Ⅳ）當(dāng)x∈[﹣2，﹣1]時(shí)函數(shù)f （x ）的最大值為，求此時(shí)a的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵x∈R，f（﹣x）=a^﹣x+a^x=a^x+a^﹣x=f（x）
∴函數(shù)f （ x ）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對稱
（Ⅱ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）﹣f（x₂）=
當(dāng)a＞1時(shí)，由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則、、、
∴f（x₁）﹣f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由0＜x₁＜x₂，則x₁+x₂＞0，則、、、；∴f（x₁）﹣f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
所以，對于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都為增函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f （x ）亦為增函數(shù)；
由于函數(shù)f（x）的最大值為，
則f（2）=，即，
解得，或
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）證知f（x） 是偶函數(shù)且在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則知f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)；
則當(dāng)x∈[﹣2，﹣1]時(shí)，函數(shù)f （x ）為減函數(shù)
由于函數(shù)f（x）的最大值為，則f（﹣2）=即，
解得，或