Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),

(其中e是自然對(duì)數(shù)的底, )     

   （1）求的解析式;

   （2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；

  （3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

1）    …………………4分

   （2）證明：當(dāng)且時(shí)，，

設(shè)

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052306021329681346/SYS201205230604441875384885_DA.files/image006.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052306021329681346/SYS201205230604441875384885_DA.files/image013.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以      

所以當(dāng)時(shí)，即 …………

  （3） 存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３…

 

【解析】解：.5.u設(shè)，則，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052306021329681346/SYS201205230604441875384885_DA.files/image009.png">是定義在上的奇函數(shù)，所以 

故函數(shù)的解析式為    …………………4分

   （2）證明：當(dāng)且時(shí)，，

設(shè)

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052306021329681346/SYS201205230604441875384885_DA.files/image006.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052306021329681346/SYS201205230604441875384885_DA.files/image013.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以      

所以當(dāng)時(shí)，即 ……………………8分

   （3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，則

（ⅰ）當(dāng)，時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是３

（ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．

所以，解得（舍去）         

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得    

綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３…………13分