Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以O(shè)為圓心且面積最小的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點(diǎn)T．
（1）求出T點(diǎn)的坐標(biāo)及圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)T關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，直線l與圓O交于M、N兩點(diǎn)，試求S=

QM

•

QN

×tan∠MQN的最大值，并求出S取最大值時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由y=mx+（3-4m）過(guò)定點(diǎn)T（4，3）可知，要使圓O的面積最小，半徑最小，從而可得定點(diǎn)T（4，3）在圓上，可求圓O的方程
（2）可先設(shè)P（x₀，y₀），則科的

x

2 0

+

y

2 0

＜25…（1）由題意可得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，聯(lián)立可求y₀的范圍，代入可求求

PA

•

PB

的范圍
（3）直線l與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），定點(diǎn)Q（-4，3），由向量的數(shù)量積的定義可得，

OM

•

ON

=2S_△MQN，從，要使S最大，則只要S_△MNQ最大，即N到MQ的距離最大即可

解答：解：（1）因?yàn)橹本�l：y=mx+（3-4m）過(guò)定點(diǎn)T（4，3）…（2分）
由題意，要使圓O的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上，
所以圓O的方程為x²+y²=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)P（x₀，y₀），則

x

2 0

+

y

2 0

＜25…（1）
∵

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
由|

PA

|，|

PO

|，|

PB

|成等比數(shù)列得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，
即

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+5)2+ y 2 0

•

(x0-5)2+ y 2 0

，
整理得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，
即

x

2 0

=

25

2

+

y

2 0

…（2）
由（1）（2）得：0≤

y

2 0

＜

25

4

，

PA

•

PB

=(

x

2 0

-25)+

y

2 0

=2

y

2 0

-

25

2

，
當(dāng)y₀=0時(shí)有最小值，當(dāng)y02=

25

4

時(shí)，函數(shù)值為0
∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0)．（10分）
（3）

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|cos∠MQN×tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|sin∠MQN=2S△MQN，…（11分）
由題意，得直線l與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（-4，3），
直線l_MQ：y=3，
∴|MQ|=8，則當(dāng)N（0，-5）時(shí)S_△MQN有最大值32．…（14分）
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值為64，
此時(shí)直線l的方程為2x-y-5=0．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線方程的點(diǎn)斜式在判斷直線恒過(guò)定點(diǎn)中的應(yīng)用，直線與圓相交關(guān)系的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識(shí)的綜合應(yīng)用