【題目】已知函數(shù)，為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：.

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】

（1）分子所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),分情況討論的正負(fù)以及根與1的大小關(guān)系，即可；（2）由（1）得兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，則，將化簡(jiǎn)整理為的函數(shù)即，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明不等式即可.

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

由題意，.

（i）若，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減.

（ii）若，由，得或，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

（iii）若，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，

由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，則，

由于

.

設(shè).

.

當(dāng)時(shí)，，所以.

所以在單調(diào)遞減，又.

所以，即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線過定點(diǎn).

（1）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）若與圓C相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，又與的交點(diǎn)為，判斷是否為定值.若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)命題正確的是（ ）

A.異面直線與所成的角為

B.平面

C.三棱錐的體積為定值；

D.直線與平面所成的角為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正三角形的中線與中位線相交于點(diǎn)，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題的序號(hào)是（ ）

A.動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在上

B.恒有平面平面

C.三棱錐的體積有最大值

D.直線與不可能垂直

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M(1,0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N(3，2)，記直線AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證：k1+k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線焦點(diǎn)為F，上任一點(diǎn)P在y軸的射影為Q，PQ中點(diǎn)為R，．

（1）求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡的方程；

（2）直線過F與從下到上依次交于A，B，與交于F，M，直線過F與從下到上依次交于C，D，與交于F，N，，的斜率之積為-2．

（i）求證：M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值；

（ii）設(shè)△ACF，△MNF，△BDF的面積分別為，，，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點(diǎn)且，設(shè)線段的中點(diǎn)為，試問是否為的根？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，則(　　)

A. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

B. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

C. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

D. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線．如圖，在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為，現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為，對(duì)于所得截口曲線給出如下命題：

①曲線形狀為橢圓；

②點(diǎn)為該曲線上任意兩點(diǎn)最長(zhǎng)距離的三等分點(diǎn)；

③該曲線上任意兩點(diǎn)間的最長(zhǎng)距離為，最短距離為；

④該曲線的離心率為．其中正確命題的序號(hào)為 （ ）

A. ①②④B. ①②③④C. ①②③D. ①④

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