Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB=2，E為BB₁延長線上的一點，D₁E⊥面D₁AC．
（1）若H是BB₁的中點，證明：DH∥D₁E；
（2）求三棱錐A-CDE的體積；
（3）求二面角E-AC-D₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）證明DH⊥面D₁AC，利用D₁E⊥面D₁AC，可得DH∥D₁E；
（2）證明四邊形DD₁HE是平行四邊形，棱錐A-CDE的體積等于三棱錐B-CDE的體積，等于三棱錐D-BCE的體積，即可求得結(jié)論；
（3）建立直角坐標(biāo)系，確定E的坐標(biāo)，求出平面EAC的法向量

m

=(0，3，-1)，平面D₁AC的法向量為

D1E

=（0，2，1），利用向量的夾角公式，可求二面角E-AC-D₁的大�。�

解答：（1）證明：連接BD交AC于O，

在矩形BDD₁B₁中，O是BD的中點，H是BB₁的中點
∴

△DD1O≌△BDH

，∴∠HDB=∠DD₁O，∴DH⊥D1O，
∵AC⊥平面BDD₁B₁，DH?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥DH
∵AC∩D₁O=O
∴DH⊥面D₁AC，
又∵D₁E⊥面D₁AC，∴DH∥D₁E；
（2）解：由（1）知DH∥D₁E，
∵DD₁∥EH，∴四邊形DD₁HE是平行四邊形
∴EH=DD₁=2，∴BE=3
∵AB∥CD，∴三棱錐A-CDE的體積等于三棱錐B-CDE的體積，等于三棱錐D-BCE的體積
∵∠BAD=60°，AB=2，∴D到平面BC₁的距離為

3

∴D-BCE的體積等于

1

3

×

1

2

×2×3×

3

=

3

∴三棱錐A-CDE的體積等于

3

；
（3）解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(

3

，0，0)，B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2）
設(shè)E（0，1，2+h），則

D1E

=(0，2，h)，

CA

=(2

3

，0，0)，

D1A

=(

3

，1，-2)
∵D₁E⊥面D₁AC，∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）
∴

D1E

=(0，2，1)，

AE

=(-

3

，1，3)
設(shè)平面EAC的法向量為

m

=(x，y，z)
由

m ⊥ CA m ⊥ AE

，可得

x=0 - 3 x+y+3z=0

，令z=-1，則

m

=(0，3，-1)
∵平面D₁AC的法向量為

D1E

=（0，2，1）
∴cos＜

m

，

D1E

＞=

m • D1E

| m || D1E |

=

6-1

10 × 5

=

2

2

∴二面角E-AC-D₁的大小為45°．

點評：本題考查線面垂直，考查線線平行，考查三棱錐體積的計算，考查面面角，考查利用向量法解決空間角問題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．