Question

點O在△ABC內部，且滿足

OA

+2

OB

+2

OC

=

0

，則△ABC面積與凹四邊形ABCO的面積之比為

5：4

．

Answer 1

分析：作

OD

=2

OB

，

OF

=2

OC

，以

OD

，

OF

為鄰邊作平行四邊形ODEF，根據平行四邊形法則可知：

OD

+

OF

=

OE

，
即2

OB

+2

OC

=

OE

．由已知

OE

=-

OA

，由此能夠求出三角形ABC的面積與凹四邊形ABOC面積之比．

解答：解：作

OD

=2

OB

，

OF

=2

OC

，以

OD

，

OF

為鄰邊作平行四邊形ODEF，
根據平行四邊形法則可知：

OD

+

OF

=

OE

，即2

OB

+2

OC

=

OE

．由已知2

OB

+2

OC

=-

OA

，所以

OE

=-

OA

，BC是中位線，則

OE

=2

OG

=4

OH

，則線段OA、OH的長度之比為4：1，從而AH、OH的長度之比為5：1，所以△ABC與△OBC都以BC為底，對應高之比為5：1，所以△ABC與△OBC的面積比為5：1，∴三角形ABC的面積與凹四邊形ABOC面積之比是5：4．故答案為：5：4．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，解題時要認真審題，注意向量的加法法則和四邊形法則．