Question

如圖，設(shè)點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁（不含各棱）的表面上，如果點(diǎn)P到棱
CC₁與A₁B₁的距離相等，則稱點(diǎn)P為“Γ點(diǎn)”給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在四邊形BCC₁B₁內(nèi)存在有限個(gè)“Γ點(diǎn)”；
②在四邊形BCC₁B₁內(nèi)存在無(wú)窮多個(gè)“Γ點(diǎn)”；
③在四邊形A₁B₁C₁D₁內(nèi)存在無(wú)窮多個(gè)“Γ點(diǎn)”；
④在四邊形CDD₁C₁內(nèi)不存在“Γ點(diǎn)”
其中，所有正確的結(jié)論序號(hào)是

②③④

．

Answer 1

分析：因?yàn)辄c(diǎn)P到棱CC₁與A₁B₁的距離相等，所以利用異面直線的公垂線的中點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的定義確定是否存在“Γ點(diǎn)”．

解答：解：因?yàn)镃C₁與A₁B₁是異面直線，所以由正方體可知，B₁C₁是異面直線CC₁與A₁B₁的公垂線．
因?yàn)锳₁B₁⊥面BCC₁B₁，所以平面BCC₁B₁內(nèi)點(diǎn)到直線CC₁的距離和到B₁的距離相等，
因?yàn)辄c(diǎn)B₁是定點(diǎn)，CC₁是定直線，根據(jù)拋物線的定義可知，在四邊形BCC₁B₁點(diǎn)P的軌跡是以B₁為焦點(diǎn)，以CC₁為準(zhǔn)線的拋物線在BCC₁B₁內(nèi)的部分，
所以在四邊形BCC₁B₁內(nèi)存在無(wú)窮多個(gè)“Γ點(diǎn)”，所以①錯(cuò)誤，②正確．
因?yàn)镃C₁⊥面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，所以平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)點(diǎn)到直線A₁B₁的距離和到C₁的距離相等，
因?yàn)辄c(diǎn)C₁是定點(diǎn)，A₁B₁是定直線，根據(jù)拋物線的定義可知，在四邊形ABCD點(diǎn)P的軌跡是以C₁為焦點(diǎn)，以A₁B₁為準(zhǔn)線的拋物線在A₁B₁C₁D₁內(nèi)的部分，
所以在四邊形A₁B₁C₁D₁內(nèi)存在無(wú)窮多個(gè)“Γ點(diǎn)”，所以③正確．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在四邊形CDD₁C₁內(nèi)點(diǎn)P到AB的最短距離為1，而在四邊形CDD₁C₁內(nèi)點(diǎn)P到CC₁的最大距離是1，而此時(shí)點(diǎn)P位于D處，
因?yàn)镻不在棱上，所以在四邊形CDD₁C₁內(nèi)不存在“Γ點(diǎn)”，所以④正確．．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間點(diǎn)到直線距離的判斷，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．