Question

已知橢圓C：的短軸長等于焦距，橢圓C上的點到右焦點F的最短距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點E（2，0）且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于M、N兩點，P是點M關(guān)于x軸的對稱點，證明：N，F(xiàn)，P三點共線．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題可知：，解方程可求a，b，進而可求橢圓方程
（II）要證明P，F(xiàn)，N三點共線，只要證明即可
解答：解（I）由題可知：  …（2分）
解得a=，c=1，b=1
∴橢圓C的方程為C：=1…（4分）
（II）設(shè)直線L：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0），
由得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．…（6分）
所以，．…（8分）
而=（x₂-1，kx₂-2k），
=（x₁-1，-kx₁+2k），…（10分）
∵（x₁-1）（kx₂-2k）-（x₂-1）（-kx₁+2k）=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4]
=k（）=0
∴
∴P，F(xiàn)，N三點共線 …（12分）
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及向量的共線與點共線的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．