Question

過點M（1，

2

）作圓O：x²+y²=4的兩條互相垂直的弦AB和CD，則四邊形ACBD的面積的最大值和最小值分別是

 

和

 

．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F，由已知得四邊形OEMF為矩形，設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂²=OM²=3．四邊形ABCD的面積為：S=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|）=2

(4-d12)(4-d22)

，由此能求出邊形ABCD的面積最大值是5，最小值是4．

解答： 解：如圖
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F，
∵AC⊥BD，
∴四邊形OEMF為矩形，已知OA=OC=2，OM=

3

，
設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=3．
四邊形ABCD的面積為：S=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
從而：S=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4-d12)(4-d22)

≤8-(d12+d22)=5，
當且僅當d12=d22時取等號，
又S=2

(4-d12)(4-d22)

=2

16-4(d12+d22)+d12d22

=2

4+d12d22

≥4，
∴四邊形ABCD的面積最大值是5，最小值是4．
故答案為：5，4．

點評：本題考查四邊形面積的最大值和最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和均值定理的合理運用．