已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）求證f（x）為奇函數(shù)；
（3）f（x）在[-2，1]上的值域．

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=-x，得f（-x+x）=f（x）+f（-x）
即f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）
因此f（x）為R上的奇函數(shù)，
（3）設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞0
∴f（x2-x1）＞0
又∵f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）＞0，可得f（x1）＜f（x2）
∴f（x）為奇函數(shù)
∴f（1）=-f（-1）=2，f（-2）=2f（-1）=-4
∵f（x）為R上的增函數(shù)，
∴當-2≤x≤1時，f（-2）≤f（x）≤f（1），
即函數(shù)在[-2，1]上的值域為[-4，2]
分析：（1）取x=y=0，即可證得f（0）=0；
（2）取y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），再結(jié)合（1）中f（0）=0，得到f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）為R上的奇函數(shù)；
（3）利用單調(diào)性的定義，可以證出f（x）為R上的增函數(shù)．再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，不難得到函數(shù)的值域為[-4，2]．
點評：本題以抽象函數(shù)為例，求函數(shù)的單調(diào)性的奇偶性，著重考查了函數(shù)的簡單性質(zhì)和函數(shù)的值域求法等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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