Question

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦與橢圓交于、兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)時(shí)，弦的長為定值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)求得，再結(jié)合可得以及，即可解出，從而求出橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）先由弦軸時(shí)，求出原點(diǎn)到弦的距離，然后再證明弦不垂直于軸時(shí)，原點(diǎn)到弦的距離也為，根據(jù)弦長公式即可得到，即弦的長為定值．

（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，

由得，

又，即，

且，所以，

則所求的橢圓的方程為，

橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為.

（2）證明：①當(dāng)弦軸時(shí)，交點(diǎn)關(guān)于軸對稱，

又，則，

可設(shè)，得，

此時(shí)原點(diǎn)到弦的距離；

②當(dāng)弦不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，

且與橢圓的交點(diǎn)，

聯(lián)列方程組，

代入消元得：，

由，

可得，

由得，

即，所以，

此時(shí)成立，

則原點(diǎn)到弦的距離，

綜上得，原點(diǎn)到弦的距離為，則，因此弦的長為定值．