(22)如圖，以橢圓(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A.連結(jié)OA交小圓于點B．設(shè)直線BF是小圓的切線．

(Ⅰ)證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(Ⅱ)設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明·=b2．

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運算能力.

(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，c2=ab.

解：在Rt△OFA中，

FA=

于是，直線OA的斜率k0A=.設(shè)直線BF的斜率為k，則

k=

這時，直線BF的方程為y=（x－c），令x=0，則

y=

所以直線BF與y軸的交點為M（0，a）.

(Ⅱ)證明：由（Ⅰ），得直線BF的方程為y=kx+a，且

k2=          ②

 

由已知，設(shè)P（x1,y1）、Q（x2,y2）,則它們的坐標滿足方程組

由方程組③消去y，并整理得

（b2+a2k2）x2+2a3kx+a4-a2b2=0.     ④

由①、②和④，

 

x1x2=

由方程組③消去x，并整理得

 

（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0.  ⑤

由式②和⑤，

 

y1y2=

綜上，得到

·.

 

注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得

 

·

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知矩形ABCD中，AB=2
2
，BC=1．以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系xoy．
（1）求以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的標準方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與（1）中的橢圓交于M，N兩點，是否存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，點P（-1，1）為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，點F為其右焦點．過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=-
1
2
將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1：3．設(shè)A，B是C上的兩個動點，線段AB的中點M在直線l上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 是否存在點M，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F2，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）已知長方形EFCD，|EF|=2，|FC|=
2
2
．以EF的中點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy．
（Ⅰ）求以E，F(xiàn)為焦點，且過C，D兩點的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，過點F做直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設(shè)
FA
=λ
FB
，點T坐標為（2，0），若λ∈[-2，-1]，求|
TA
+
TB
|的取值范圍．

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