Question

已知f（x）=2sinx（cosx-sinx），其中x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并從下列的變換中選擇一組合適變換的序號，經(jīng)過這組變換的排序，可以把函數(shù)y=sin2x的圖象變成y=f（x）的圖象；（要求變換的先后順序）
①縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174921548859980/SYS201311031749215488599017_ST/0.png">倍，
②縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，
③橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174921548859980/SYS201311031749215488599017_ST/1.png">倍，
④橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174921548859980/SYS201311031749215488599017_ST/2.png">倍，
⑤向上平移一個單位，⑥向下平移一個單位，
⑦向左平移個單位，⑧向右平移個單位，
⑨向左平移個單位，⑩向右平移個單位，
（2）在△ABC中角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，f（A）=0，b=4，S_△ABC=6，求a的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x+）-1，由三角函數(shù)的周期公式可算出最小正周期為T=π，結(jié)合三角函數(shù)圖象變換的方法，可得y=sin2x的圖象按照⑨③⑥或③⑨⑥的順序變換，可得y=f（x）的圖象；
（2）由（1）的解析式，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍解出A=，代入三角形面積公式算出c=3，最后利用余弦定理即可算出邊a的長．
解答：解：（1）f（x）=2sinx（cosx-sinx）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=sin（2x+）-1…（3分）
∴f（x）的最小正周期為T==π …（5分）
把y=sin2x的圖象向左平移，然后橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174921548859980/SYS201311031749215488599017_DA/8.png">倍，
再向下平移1個單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象．按照⑨③⑥或③⑨⑥的順序變換即可…（8分）
（2）∵f（A）=0，即sin（2A+）=，且2A+∈（，）
∴2A+=，解之得A=…（10分）
S_△ABC=bcsinA=×4×csin=6，解之得c=3…（10分）
根據(jù)余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=16+18-2×4×3cos=10
∴a=（舍負(fù)）…（14分）．
點評：本題將三角函數(shù)式化簡，求函數(shù)的周期和圖象的變換，并依此解三角形ABC．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和正余弦定理等知識，屬于中檔題．