Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，則，滿足什么條件時(shí)，曲線與在處總有相同的切線？

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求的取值的集合.

Answer 1

【答案】（1）且，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，，（3）.

【解析】

試題（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義分別求出曲線與在處的切線斜率，再根據(jù)兩者相等得到，滿足的條件，易錯(cuò)點(diǎn)不要忽視列出題中已知條件，（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，一是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二是判斷對(duì)應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值符號(hào).本題難點(diǎn)在于導(dǎo)數(shù)為零時(shí)根的大小不確定，需根據(jù)根的大小關(guān)系分別討論單調(diào)減區(qū)間情況，尤其不能忽視兩根相等的情況，（3）本題恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值不小于零，難點(diǎn)是求函數(shù)的最小值時(shí)須分類討論，且每類否定的方法為舉例說(shuō)明.另外，本題易想到用變量分離法，但會(huì)面臨問(wèn)題，而這需要高等數(shù)學(xué)知識(shí).

試題解析：（1），，又，

在處的切線方程為， 2分

又，，又，在處的切線方程為，

所以當(dāng)且時(shí)，曲線與在處總有相同的切線 4分

（2）由，，，

， 7分

由，得，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，. 10分

（3）由，則，，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，

又，時(shí)，，與函數(shù)矛盾， 12分

②當(dāng)時(shí)，，；，

函數(shù)在單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，又，，與函數(shù)矛盾，

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，同理，與函數(shù)矛盾，

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，

，故滿足題意.

綜上所述，的取值的集合為. 16分