Question

（本小題滿分14分）
如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，點D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求的體積；
（3）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，
BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                    …………2分
又 AC⊥C1 C，
∴ AC⊥平面BCC1；         
∴ AC⊥BC1       …………4分
（2）…………8分
（3）解法一：取中點，過作于，連接。

是中點，
∴
∴平面，又
∴
∴  ,又
∴平面  
∴
∴是二面角的平面角…………10分
AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
∴，   ∴，  
    ∴二面角的余弦值為 …………14分
解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
∴，，，
∴， 
平面的法向量，  
設平面的法向量，
則，的夾角的補角的大小就是二面角的大小
則由解得 …12分
，………13分
∴二面角的余弦值為         …………14分

略